Det rapporterar den vanligtvis välunderrättade techsajten Recode.
Twitter ska ha erbjudit enbart aktier - inga kontanter - som betalning för Flipboard, som är en samlingstjänst för nyheter.
Enligt Recodes källor har samtal mellan parterna pågått sedan början av året. Den senaste tiden är de dock stannat av. Flipboard har några Silicon Valleys tyngsta riskkapitalfirmor bland sina investerare.